Interpolacja i ekstrapolacja

Krzysztof Leon Jarzębowski

"(...) uważam metodę interpolacji i ekstrapolacji za godną większej uwagi ze strony kosztorysantów i mam nadzieję, że artykuł ten zachęcając do szerszego jej stosowania spowoduje odejście od nadużywania, bardzo często błędnie, metody analogii. (...)"

Na początku artykułu przytoczę encyklopedyczne formuły interpolacji i ekstrapolacji:

INTERPOLACJA [łac.], mat. wyznaczanie funkcji w zadanym przedziale na podstawie przyjmowanych przez nią wartości w pewnych punktach tego przedziału; gdy szukaną funkcję przybliża się odcinkami prostych (funkcjami liniowymi), i. nazywa się i. liniową.

EKSTRAPOLACJA [łac.], mat. wyznaczanie wartości funkcji określonej w danym przedziale w punktach leżących poza tym przedziałem; szczególny przypadek aproksymacji funkcyjnej.

Z powyższego wynika po pierwsze, że źródłosłów tych pojęć jest łaciński, a po wtóre, - że opisują one funkcje matematyczne.
Kosztorysowanie robót budowlanych jest czynnością matematyczną (informuję na wypadek, gdyby ktoś nie wiedział) sprowadzającą się do wykorzystywania nieskomplikowanych formuł arytmetycznych w skomplikowanym i obszernym tyglu technologii i ich konsekwencji finansowych zawartych w jednostkowych normach nakładów rzeczowych opisanych w licznych foliałach katalogów kosztorysowych norm nakładów rzeczowych.

Co stanie się jednak, kiedy w opasłych tomach katalogów nakładów rzeczowych nie znajdziemy opisu procesu technologicznego, który musimy przetransponować na gotówkę? Wówczas możemy posłużyć się tworzeniem analiz indywidualnych, przy czym metodami tworzenia tych analiz może być interpolacja lub ekstrapolacja.

Definicje kosztorysowe analizowanych pojęć zacznę od zacytowania pozycji " Umowy o wykonanie remontów oraz kosztorysowanie robót remontowych w budynkach" inż. Jerzy Reichert , PTE Warszawa 1979

„Ceny jednostkowe KCK^* stosuje się wówczas, gdy zmiany wiodących parametrów technicznych elementów mieszczą się w granicach do 10% wielkości parametru podanego w określonej pozycji KCK. Jeżeli zmiana wiodącego parametru technicznego jest większa od 10% stosuje się zasadę interpolacji lub ekstrapolacji. Obszar ekstrapolacji nie może przekraczać 25% wielkości parametru poniżej dolnej wielkości parametru podanego w KCK oraz 50% wielkości parametru powyżej górnej granicy. Interpolacja i ekstrapolacja nie mają zastosowania do tych pozycji KCK, dla których zakres przedziału obowiązywania ceny został wyraźnie określony: „do", „od", „powyżej", „poniżej" itp."

Dalsze publikacje nie zmieniają zakresu stosowania ekstra- i interpolacji w kosztorysowaniu. I tak: "Szczegółowe zasady indywidualnego ustalania nakładów rzeczowych robocizny, materiałów i pracy sprzętu" Instytut Organizacji, Zarządzania i Ekonomiki Przemysłu Budowlanego - Warszawa 1986 - do użytku służbowego na s.21 podają:

„Zasadę interpolacji i ekstrapolacji stosuje się wówczas, gdy zmiana dla wiodącego parametru technicznego jest większa niż 10%. Obszar ekstrapolacji nie może przekraczać 25% wielkości parametru poniżej dolnej wielkości parametru podanego w KNR (KNK) oraz 50% wielkości parametru powyżej górnej granicy. Zasady interpolacji i ekstrapolacji nie mają zastosowania do tych pozycji KNR (KNK), dla których zakres przedmiotu obowiązywania normatywu nakładów rzeczowych został wyraźnie określony ( „do", „od", „powyżej", „poniżej" itd.)."

Kalkulacja kosztorysowa robót budowlanych" Eugeniusz Smoktunowicz, COIB Warszawa 1989 s.20

„Zasadę interpolacji i ekstrapolacji stosuje się wówczas, gdy zmiana dla wiodącego parametru technicznego jest większa niż 10%. Obszar ekstrapolacji nie może przekraczać 25% wielkości parametru poniżej dolnej wielkości parametru podanego w KNR oraz 50% wielkości parametru powyżej górnej granicy. Zasady interpolacji i ekstrapolacji nie mają zastosowania do tych pozycji KNR, dla których zakres przedmiotu obowiązywania normatywu nakładów rzeczowych został wyraźnie określony ( „do", „od", „powyżej", „poniżej" itp.)."

Definicje prawne interpolacji i ekstrapolacji zawiera też Załącznik do Zarządzenia nr 21 Ministra Gospodarki Przestrzennej i Budownictwa z dnia 7 grudnia 1988 roku w sprawie metod kosztorysowania obiektów i robót budowlanych (Dz.Urz. MGPiB nr 3, poz.10)

„10.3. Metoda ustalania nakładów rzeczowych na zasadzie interpolacji lub ekstrapolacji może mieć zastosowanie wyłącznie w przypadkach, kiedy wielkość wiodącego parametru technicznego, określającego dany rodzaj robót w pozycji kosztorysowej, różni się więcej niż 10% od wielkości najbardziej zbliżonej kolumny z nakładami KNR. Jako parametr wiodący przyjmuję się: masę, wymiar, moc itp. Obszar ekstrapolacji nie może przekraczać 25% wielkości parametru poniżej dolnej wielkości parametru podanego w KNR oraz 50% wielkości parametru powyżej górnej granicy."

W Zarządzeniu Ministra Gospodarki Przestrzennej i Budownictwa z dnia 15 lipca 1996 r. w sprawie metod kosztorysowania obiektów i robót budowlanych. (M.P. nr 48, poz.461) można przeczytać:

„§ 16. 1. Brak nakładów rzeczowych w katalogach wymaga indywidualnego ustalania tych nakładów (...)
4. Metoda interpolacji lub ekstrapolacji przy ustalaniu nakładów rzeczowych może mieć zastosowanie wyłącznie w wypadkach, gdy wielkość wiodącego parametru technicznego, określającego dany rodzaj robót w pozycji kosztorysowej, różni się więcej niż o 10% w robociźnie i pracy sprzętu oraz więcej niż do 5% w materiałach od wielkości najbardziej zbliżonej występującej w katalogu. Jako parametr wiodący przyjmuje się w szczególności masę, wymiar, moc. Obszar ekstrapolacji nie powinien przekraczać 25% wielkości parametru poniżej dolnej wielkości parametru podanego w katalogu oraz 50% wielkości parametru powyżej górnej granicy."

Rozporządzenie Ministra Spraw Wewnętrznych i Administracji z dnia 26 lutego 1999 r. w sprawie metod i podstaw sporządzania kosztorysu inwestorskiego. (Dz.U. nr 26, poz.239) skróciło opis:

„3. przy ustalaniu jednostkowych nakładów rzeczowych należy stosować:
1) kosztorysowe normy nakładów rzeczowych (...),
2) metodę interpolacji i ekstrapolacji, przy wykorzystaniu odpowiednich wielkości, określonych zgodnie z pkt 1, (...)"

Identyczny zapis znajduje się w Rozporządzeniu Ministra Infrastruktury z dnia 24 stycznia 2004 r. w sprawie metod i podstaw sporządzania kosztorysu inwestorskiego. (Dz.U. nr 18, poz.172).

Rozporządzenie Ministra Rozwoju Regionalnego i Budownictwa z dnia 13 lipca 2001 r. w sprawie metod kosztorysowania obiektów i robót budowlanych. (Dz.U. nr 80, poz.867) załatwia tę sprawę skrótowo:

„§ 7. 1. Podstawy sporządzania kosztorysu (...)
6) jednostkowe nakłady rzeczowe zawarte w katalogach lub ustalone na podstawie analizy indywidualnej - dla kalkulacji szczegółowej, (...)"

Ze swojej strony uważam metodę interpolacji i ekstrapolacji za wdzięczną i godną większej uwagi ze strony kosztorysantów, przy czym mam nadzieję, że artykuł ten zachęci do szerszego stosowania tych metod i spowoduje odejście od nadużywania, bardzo często błędnie stosowanej, metody analogii. Aby lepiej zobrazować czytelnikowi zasadę tworzenia analizy indywidualnej poprzez interpolację i ekstrapolację, pokażę opracowane przeze mnie przykłady.

W poniższym przykładzie wyliczam przez interpolację normy na montaż zbiornika o pojemności 700 dm³ w przedziale pomiędzy wiodącymi parametrami, którymi była pojemność zbiorników 800 dm³ i 600 dm³ - na podstawie KNR nr 2-15 tabl.0122 kol.04 i kol.03. Poszukiwane wartości są wyższe o 50 % różnicy normatywów dla zbiorników o pojemności 800 i 600 dm³ od wartości normatywu z kol.03.

W poniższym przykładzie poszukiwałem przez ekstrapolację norm na montaż zbiornika o pojemności 150 dm³, (poniżej wiodącego parametru którym była pojemność zbiornika 200 dm³ zawarta w KNR nr 2-15 tabl.0122 kol.01). Poszukiwana wartość znajdowała się o poniżej wartości określonej w KNR nr 2-15 tabl.0122 kol.01, o 25% różnicy normatywów dla zbiorników o pojemności 400 i 200 dm³ (KNR nr 2-15 tabl.0122 kol.02 i kol.01).